Las Matemáticas-Séptimo.

Números Enteros:

Es el conjunto formado por los números +, el número cero y los números -, y se simboliza z. Los principales subconjuntos de los números enteros son: 

-Z: (-1,-2,-3,-4,-5...).

+Z:(1,2,3,4,5,6,7,8...).

(0).

La unión de estos tres conjuntos disyuntivos es igual al conjunto de los números enteros (z): (-z)+(0)+(+z).

Números Enteros Opuestos:

Los números - que correspondan a los números positivos se llaman opuestos. Es decir -a el opuesto es +a. Por ejemplo:

-1 el opuesto es +1.

Valor Absoluto:

Si un número +, su valor absoluto es el mismo número.Por ejemplo:

3:I 3I.  5:I5I.  20:I20I.

En cambio si el número es -, su valor absoluto es el opuesto.Por ejemplo:

-7:I7I.  -30I30I.  -2I2I.  

  El valor absoluto nunca es -.

El valor absoluto se simboliza con el número encerrado entre dos barras I I. 

Relaciones de desigualdad en los números enteros

Dos números enteros son iguales cuando tienen igual valor absoluto y el mismo signo.

Todo número entero positivo es mayor que todo número entero negativo.

• El número es mayor que cualquier negativo.
• El número es menor que cualquier positivo.

c) Si son de distinto signo y es positivo, entonces:

Ubicación de los números enteros en el plano cartesiano

Propiedades de la suma con numeros                                    enteros

Clausurativa:   (-8) + (-19) = -27               La suma obtenida al adicionar números

                           (+47) + (-18) = +29              enteros es un número entero.       

 

Conmutativa:   (-67) + (+89) = +22          En toda adición el orden de los sumandos

                              (+89) + (-67) = +22           no altera la suma.                

 

Asociativa:       (-14) + (+24) + (-5) =       Al asociar dos o mas sumandos de una

               (-14 + 24) -5 = -14 + (+24  -5)     adición, en distinto orden, la suma no se

                       (+10) -5 = -14 + (+19)           altera.

                                  +5 = +5

 

Modulativa:   0 + (-41) = (-41)                La adición de un número  entero con cero

                           (+27) + 0 = (+27)               da como resultado el mismo número entero.

 

Propiedad del

Opuesto aditivo:  (+6) + (-6) = 0          Todo número entero adicionado con su 

                           (+104) + (-104) = 0          opuesto aditivo da como resultado cero.

            suma de números enteros

a) Si todos los números son positivos se suman y el resultado es positivo:

3 + 4 + 8 = 15

b) Si todos los números son negativos se suman y el resultado es negativo:

(-3) + (-4) + (-8) = -15

c) Si se suman números positivos y negativos, los positivos suman y los negativos restan:

3 + (-4) + 5 + (-7)

sumamos los números positivos: 3 + 5 = 8

sumamos los números negativos: (-4) + (-7) = -11

Ahora el resultado positivo suma y el negativo resta:

8 - 11 = -3

    multiplicación de números enteros

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos; si los dos factores tienen igual signo, el producto es positivo, y si los dos factores tienen distinto signo, el producto es negativo. 

+ x + = +                            - x - = +

+ x - = -                              - x + = -

        División de números enteros

Para hallar el cociente exacto de dos números enteros se dividen sus valores absolutos; si el dividendo y el divisor tienen igual signo, el cociente es positivo, y si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo. 

         potenciacion de numeros enteros

– Si la base es positiva, el resultado de la operación siempre es positiva sea cual sea el exponente. (en los números naturales la base siempre es  positiva)

– Si la base es negativa, el resultado de la operación depende del exponente:
     Si el exponente es par el resultado es positivo  (el producto de dos signos negativos da resultado positivo: (–)·(–) = +
     Si el exponente es impar el resultado es negativo (siempre queda un signo negativo sin aparear).

Para que la base sea negativa tiene que estar entre paréntesis, en cuyo caso también hay que elevar el signo “ – “

Ejemplos:

 2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32
(– 5)³ = (– 5)·(– 5)·(– 5) = –125

                        

                                         porcentaje

es una forma de expresar fracciones decimales cuyo denominador es el 100 y se representa %

Ejemplo:

25%= 25   = 0,25

          100

                         Numeros racionales

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. se simboliza Q.

cuya representación decimal tiene un número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.

                      fracciones equivalentes

representan la misma cantidad de una fraccion 

         suma y resta de numeros racionales

Adición y sustracción de fracciones con igual denominador
Para sumar fracciones con igual denominador, se conserva en denominador y se suman los numeradores. Siendo a, b, c diferentes a 0, lo podemos representar de la siguiente forma;

Adición y sustracción de fracciones con distinto denominador
Para sumar fracciones con distinto denominador, se igualan los denominadores de las fracciones, buscando el mínimo común múltiplo entre los denominadores y amplificando cada fracción por el número que corresponda. Luego, se realiza la adición o sustracción de la misma forma que en el caso anterior (igual denominador).

En el caso que sean 2 fracciones, siendo a, b, c, d diferentes a 0, lo podemos representar de la siguiente forma;

Multiplicación de números racionales

El producto entre dos o más números racionales es otro número racional, cuyo numerador y denominador son los productos de los numeradores y denominadores de cada uno de los factores.  Veamos un ejemplo:

División de números racionales

Para dividir dos números racionales, se multiplica al dividendo (primera fracción) por el inverso del divisor (segunda fracción), es decir a la primera fracción se la multiplica por la segunda fracción invertida. Veamos un ejemplo:

regla de 3 simple directa

La regla de tres simple directa se utiliza cuando el problema trata de dos magnitudes directamente proporcionales. Podemos decir que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número.

Para resolver una regla de tres simple directa debemos seguir la siguiente fórmula:

GRACIAS